définition :
L'espace de Schwartz est l'espace \(\mathcal S\) des fonctions déclinantes, i.e. Des fonctions infiniment dérivables et à décroissantes rapides, ainsi que leurs dérivées à tout ordre
(Espace vectoriel, Dérivées successives, Fonction à décroissance rapide)
Théorème : (Radchenko V., 2017)
Il existe une collection de fonctions de Schwartz \(c_0,a_n:{\Bbb R}\to{\Bbb C}\) avec les propriétés que pour toute fonction de Schwartz \(p:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) et pour tout \(x\in{\Bbb R}\), on a : $$\begin{align} p(x)=&c_0(x)p'(0)+\sum_{n\in{\Bbb Z}}a_n(x)p\left({\operatorname{sign}(n)\sqrt{\lvert h\rvert} }\right)\\ &+\hat c_0(x)\hat p'(0)+\sum_{n\in{\Bbb Z}}\hat a_n(x)\hat p\left({\operatorname{sign}(n)\sqrt{\lvert h\rvert} }\right)\end{align}$$
Théorème : (H.Cohn, N.Elkies, 2003)
Soit \(f\) une fonction de Schwartz dans \({\Bbb R}^d\). Supposons que
- \(f(x)\leqslant0\) si \(\lvert x\rvert\geqslant r\)
- \(\hat f(y)\geqslant0\) pour tout \(y\in{\Bbb R}^d\)
- \(f(0)=\hat f(0)=1\)
Un emballage de sphères dans \({\Bbb R}^d\) avec des boules de rayon \(\frac r2\) ayant une densité au centre \(\leqslant1\)
